Векторное и смешанное произведения в трехмерном пространстве. Теорема о смешанном произведении

$(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ - правая, если из конца $\vec{w}$ поворот от $\vec{u}$ к $\vec{v}$ выглядит против часовой стрелки. $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ - левая, если из конца $\vec{w}$ поворот от $\vec{u}$ к $\vec{v}$ выглядит по часовой стрелки.

Векторное произведение $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - вектор $\vec{c}$ такой, что: 1) $|\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$, т.е длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах 2) $\vec{c} \perp \vec{a} \land \vec{c} \perp \vec{b}$ 3) Тройка $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ - правая Если $\vec{a} \parallel \vec{b}$, то $\vec{c} = \vec{0}$ Обозначение: $\vec{a} \times \vec{b}$ или $[\vec{a}, \vec{b}]$

$\vec{a}\vec{b}\vec{c} := (\vec{a} \times \vec{b})\vec{c}$

Объём параллелепипеда, построенного на трёх некомпланарных векторах, равен модулю их смешанного произведения.

Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ - некомпланарны. Предположим, что $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ - правая тройка. !triple_prod.png Отложим вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ от точки $O$. Пусть $\overrightarrow{OC} = \vec{c}, D$ - проекция $C$ на плоскость векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - $\sigma$. Угол между $\vec{c}$ и $\sigma$ - $\alpha$, между $\vec{a} \times \vec{b}$ и $\vec{c}$ - $\beta$. Учитывая, что $\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \sin\alpha = \cos\beta$ и используя геометрический смысл векторного произведения, имеем: $$V = S_{\text{осн}} \cdot h = |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |CD| = |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \sin\alpha = |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos\beta = (\vec{a} \times \vec{b})\vec{c} = \vec{a}\vec{b}\vec{c}$$ Пусть $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ - левая тройка. Тогда $\alpha = \beta - \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \sin\alpha = -\cos\beta \Rightarrow V = -\vec{a}\vec{b}\vec{c}$, а значит $V = |\vec{a}\vec{b}\vec{c}| ~~~\square$